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A crítica de Leibniz ao pensamento matemático de Descartes

René Descartes é louvado, entre outras coisas, por ter introduzido a Álgebra na resolução de problemas geométricos. Dessa forma, Descartes se posicionou contra o chamado princípio aristotélico de incomunicabilidade dos gêneros (Segundos Analíticos, I,7) segundo o qual não pode ser demonstrada uma proposição de uma ciência usando conceitos do âmbito de outra disciplina científica. Consequentemente não se poderia usar a Aritmética (e a Álgebra que era considerada uma Aritmética generalizada) para provar proposições da Geometria.

Desde a perspectiva da prática matemática, o uso de ferramentas algébricas foi um grande avanço, pois permitiu resolver problemas para os quais os geômetras gregos não haviam conseguido encontrar uma solução. No início de sua obra, La Géométrie, de 1637, Descartes afirma que todos os problemas que os geômetras gregos resolviam por meio de construções com regra e compasso podiam ser reduzidos a termos tais que o conhecimento do comprimento de certas linhas retas fosse suficiente para a construção de sua solução. Ele escreve também que o cálculo aritmético (também em sua forma algébrica) está relacionando às operações de soma e multiplicação de segmentos de retas. A partir dessas ideias, Descartes conseguiu ir além da antiga geometria grega. Pois enquanto os antigos só conseguiam dar sentido geométrico à multiplicação de dois ou três segmentos retilíneos, Descartes pôde dar significado geométrico ao produto de um número arbitrário deles. Assim, ele resolveu o chamado problema de Pappus, problema sobre a determinação do ponto de uma curva dadas determinadas condições, e que vinha da Antiguidade tardia, para um número arbitrário de linhas retas, ao passo que os gregos, na Antiguidade tardia, só tinham conseguido dar uma solução para três ou quatro linhas retas. Além disso, Descartes pôde dar uma classificação das curvas estudadas pelos antigos geômetras, propondo um critério claro de distinção entre curvas geométricas e curvas mecânicas. Finalmente, outro sucesso de Descartes foi o de dar um método algébrico uniforme para achar, dada uma curva geométrica γ e um ponto P qualquer dela, a tangente à γ que passa por P.

Sem dúvida La Géométrie, foi uma obra revolucionária desde o ponto de vista das técnicas de resolução de problemas geométricos, porém não podemos lhe outorgar um lugar de destaque se nosso interesse for a questão dos fundamentos das Ciências matemáticas e da Geometria em particular. Descartes não diz quais são os princípios fundamentais da Geometria, diferentemente de Euclides que, nos seus Elementos, apresentou uma lista de definições, postulados e axiomas. A razão disso é que Descartes pensava que o número de axiomas e postulados não pode ser determinado. Isso correspondia a sua época na qual as sucessivas versões dos Elementos de Euclides acrescentavam, sem limites, axiomas àqueles dados pelo geômetra grego. Não havia, naqueles textos, nem em Descartes, nenhuma preocupação pela questão da independência dos axiomas entre si. Também o filósofo francês pensava que as entidades básicas da Geometria, como ponto, superfície, sólido, reta, linha, não deviam ser definidas, porque, ao tentar fazê-lo, só obteríamos confusão e nenhuma clareza, a mesma confusão que encontramos na definição euclidiana de linha reta e ângulo ou na aristotélica de movimento. Por outro lado, Descartes não tinha uma teoria sobre a prova geométrica como a que encontramos desenvolvida no Comentário ao primeiro livro dos Elementos de Euclides de Proclo. Além disso, para dar sentido geométrico à multiplicação de duas quantidades a e b, Descartes assume o teorema de Tales junto com a teoria das proporções desenvolvida no livro V dos Elementos de Euclides. Para introduzir o que chamamos hoje de coordenadas cartesianas, ele aceitou como provado o enunciado do chamado teorema de Pitágoras, que é a proposição I, 47 dos Elementos. Por isso Leibniz apontou corretamente que, desde um ponto de vista fundacional, La Géométrie pressupõe Os Elementos. Há outras questões filosóficas que Descartes não tratou. Em primeiro lugar, ele deixou na ambiguidade a natureza da Álgebra e sua relação com a Geometria, tema discutido entre os comentaristas de sua obra. Não sabemos com certeza se ele considerava a Álgebra só uma ferramenta ou se ele pensava que as figuras e curvas das que trata a Geometria são, na verdade, equações. Em segundo lugar, Descartes não tentou esclarecer a natureza do pensamento algébrico nem aprofundou a questão sobre a natureza dos referentes dos símbolos algébricos e suas combinações. Descartes pensava que cada símbolo algébrico representava a ideia de uma quantidade, mas não era muito explícito sobre o que era representado por uma equação do tipo x2+1=0. Finalmente, não se pode deixar de mencionar o finitismo do pensamento matemático de Descartes que estava em acordo com o pensamento matemático dos antigos gregos. Descartes rejeitou a introdução do infinito em Matemática e, por isso, não usou métodos infinitesimais. Essa recusa a introduzir o infinito vai ao encontro ao conteúdo afirmado nos Princípios da Filosofia, I,26 onde Descartes declara que não nos devemos ocupar de questões tais como se a metade de uma linha infinita é infinita ou se o número infinito é par ou ímpar.

Leibniz criticou o pensamento matemático cartesiano devido à ausência em La Géométrie de preocupações fundacionais, ao finitismo desse pensamento e à falta de uma reflexão filosófica profunda sobre a natureza do pensamento algébrico. Ele pensava que os axiomas dos Elementos de Euclides podiam ser provados. De fato, tentou demonstrar o axioma de que o todo é maior do que a parte e o axioma de que se a quantidades iguais se acrescenta uma mesma quantidade, se obtêm, como resultado, quantidades iguais. Leibniz considerou que as definições das entidades geométricas dadas nos Elementos deviam ser melhoradas definindo essas entidades por meio do movimento. Assim, uma linha resultaria do movimento de um ponto, uma superfície do movimento de uma linha e um sólido do movimento de uma superfície. Diferentemente de Descartes, Leibniz tinha uma teoria da prova. Uma prova perfeita de uma proposição em qualquer disciplina apresentada de forma dedutiva procede, por decomposição analítica, dos conceitos que aparecem como sujeito e predicado dessa proposição. No final desse processo de decomposição que se apoia na definição dos conceitos envolvidos, deve-se chegar a enunciados de identidade, quer dizer, enunciados da forma A é B ou AB é B. Para aplicar essa teoria geral da prova ao caso das provas geométricas, era necessário, segundo Leibniz, verter os enunciados da Geometria em uma linguagem formalizada que Leibniz chamou de característica geométrica. A característica geométrica é não apenas um meio de expressão, senão também um cálculo. Ela permite, por derivação lógica, provar a existência de entidades geométricas não reconhecidas pelos antigos geômetras gregos.

Há, em Descartes, a concepção de que cada expressão composta de símbolos como os da Álgebra deve ter como referente uma ideia. Isso nega Leibniz com sua ideia de pensamento cego, entendido como uma manipulação de signos, sem referente claramente definido, à qual lhe podemos outorgar um significado nítido só no final do processo de cálculo. Finalmente, Leibniz rejeitou o finitismo cartesiano ao introduzir na Geometria métodos infinitesimais. O contraste entre a atitude dos dois filósofos face ao infinito matemático fica patente ao comparar o método que eles usaram para determinar a tangente a uma curva dada por um ponto dado dessa curva.

A crítica de Leibniz ao pensamento matemático de Descartes será o tema do minicurso que oferecerei no XXI Encontro Anpof, em novembro de 2026.

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Referências

Belaval, Y. Leibniz critique de Descartes, Paris: Gallimard, 1960

Descartes, R. Reglas para a dirección del espíritu; Principios de la Filosofía. Em: Obras escogidas. Tradução ao espanhol de Ezequiel de Olasso. Buenos Aires: Sudamericana, 1967

Descartes, R. The Geometry. Tradução de David Smith e Marcia Latham. New York: Dover, 1954

Euclides. Os elementos. Tradução Irineu Bicudo. São Paulo: Edunesp,2009

Leibniz, G.W. La característique géométrique. Tradução de Marc Parmentier e introdução de Javier Echevarria. Paris: Vrin,1995

Leibniz, G.W. Opuscules et fragments inédits. Edição Couturat. Hidesheim, Olms, 1988.

Mancosu, P. Philosophy of Mathematics & Mathematical Practice in the Seventeenth Century, Oxford University Press, 1996.

Sasaki,Ch. Descartes’s Mathematical Thought. Springer: New York, 2023

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